Математикийг бид ихэвчлэн тоо, томьёо, бодлогоор төсөөлдөг. Гэвч математикийн ертөнцөд олон зуун жилийн турш хүмүүсийг гайхшруулсаар ирсэн хачирхалтай тоонууд, нууцлаг хэв маяг, өдөр тутмын амьдралд нуугдсан сонирхолтой үзэгдлүүд бий. Зарим нь энгийн мэт харагдавч цаанаа гайхалтай учир шалтгаантай.
1. Тэг тоо үргэлж байгаагүй
Өнөөдөр бид тэгийг энгийн тоо мэт ашигладаг ч түүнийг бие даасан тоо болон байрлал тэмдэглэх тэмдэг болгон хөгжүүлэхэд олон зуун жил шаардагджээ. Энэтхэгийн математикчид тэгийг тооцоололд системтэй ашиглахад чухал хувь нэмэр оруулсан бөгөөд математикч Брахмагупта VII зуунд тэгтэй холбоотой үйлдлүүдийн дүрмийг тайлбарласан байна. Тэг байгаагүй бол өнөөгийн тоолол, компьютерийн шинжлэх ухааныг төсөөлөхөд бэрх.
2. \pi тооны аравтын бутархай хэзээ ч дуусахгүй
Тойргийн уртыг диаметрээр нь хуваахад \pi буюу пи тоо гарна. Түүний эхлэл нь 3.14159265… боловч аравтын бутархай нь төгсгөлгүй үргэлжилж, цифрүүд нь давтагддаг тогтмол мөчлөг үүсгэдэггүй. Энэ тоог тойргийн хэмжээсээс гадна физик, инженерчлэл, сансар судлалд ашигладаг. Сонирхолтой нь, өдөр тутмын тооцоонд пи тооны эхний хэдхэн орон ихэнхдээ хангалттай байдаг.
3. 0.999… нь яг 1-тэй тэнцүү
Эхэндээ итгэмээргүй санагдаж болох ч 0.999\ldots=1. Учир нь 0.999… гэдэг нь 0.9, 0.99, 0.999 гэх мэтээр төгсгөлгүй үргэлжлэх аравтын бичлэг юм. Үүнийг x=0.999\ldots гэж үзвэл 10x=9.999\ldots. Хоёр тэгшитгэлийг хасахад 9x=9, тэгэхээр x=1 болно. Энэ нь төгсгөлгүй аравтын бутархайг ойлгоход тусалдаг математикийн сонирхолтой жишээ юм.
4. Шатрын хөлөг дээрх будааны домог
Нэгэн алдартай домогт шатрын хөлгийн эхний нүдэнд нэг ширхэг будаа тавиад, дараагийн нүд бүрд өмнөхөөс хоёр дахин их будаа тавихыг хүссэн гэдэг. Хөлөг 64 нүдтэй тул хамгийн сүүлийн нүдэнд 2^{63} ширхэг будаа байх бөгөөд нийт хэмжээ нь 2^{64}-1, өөрөөр хэлбэл 18 квинтиллионоос ч их ширхэг болно. Энэ домог экспоненциал өсөлт хэр хурдан асар том болдгийг гайхалтай харуулдаг.
5. Зарим хязгааргүй олонлог нөгөөгөөсөө “цөөн” байж болно
Хязгааргүй гэдэг үг бүх зүйлд ижил хэмжээтэй мэт сонсогддог. Гэвч математикт бүх хязгааргүй олонлог адил хэмжээтэй биш. Жишээлбэл, натурал тоонууд 1,2,3,\ldots тоологдох хязгааргүй олонлог бол бодит тоонуудын олонлог тоологдохгүй хязгааргүй олонлог юм. Математикч Георг Кантор үүнийг судалж, хязгааргүй байдлын өөр өөр хэмжээг тайлбарласан нь математикийн түүхэн том нээлт болсон.
6. Хоёрын зэрэгт дэвшүүлэхэд тоо маш хурдан өсдөг
2, 4, 8, 16, 32, 64… гэсэн дарааллыг харахад эхэндээ өсөлт нь бага мэт санагдана. Гэвч алхам бүрд өмнөх тоог хоёр дахин нэмэгдүүлж байгаа учраас хэдхэн алхмын дараа асар их тоо бий болно. Ийм өсөлтийг компьютерийн мэдээлэл, алгоритм, хүн амын загварчлал зэрэг олон салбарт судалдаг. Харин бодит амьдралд өсөлт үргэлж ийм хэвээр байна гэсэн үг биш.
7. Анхны тоонуудын тухай сонин баримт
Анхны тоо гэдэг нь 1-ээс их бөгөөд зөвхөн 1 болон өөртөө хуваагддаг бүхэл тоо юм. Жишээлбэл, 2, 3, 5, 7, 11 нь анхны тоонууд. Хамгийн сонирхолтой нь 2 бол цорын ганц тэгш анхны тоо. Учир нь түүнээс бусад бүх тэгш тоо 2-т хуваагддаг. Анхны тоонууд тоо томрох тусам сийрэг болдог ч хэзээ ч дуусдаггүй гэдгийг эртний Грекийн математикч Евклид баталсан.
8. Хуанлид “13-ны Баасан гараг” яагаад тохиолддог вэ?
13-ны өдөр Баасан гарагт таарах нь зарим соёлд азгүйд тооцогддог. Гэхдээ энэ нь математикийн хувьд ер бусын үзэгдэл биш. Нэг жил 365 хоногтой тул 52 бүтэн долоо хоног дээр нэг өдөр нэмэгдэнэ. Өндөр жилд хоёр өдөр нэмэгдэнэ. Иймээс жил бүр огноонуудын долоо хоногийн өдөр өөрчлөгдөж, зарим жилд 13-ны өдөр Баасан гарагт нэгээс олон удаа таарч болно. Энэ нь хуанлийн мөчлөг хэрхэн ажилладгийн жишээ юм.
9. Магадлал заримдаа зөн совингоос өөр байдаг
23 хүнтэй өрөөнд дор хаяж хоёр хүн ижил төрсөн өдөртэй байх магадлал 50 хувиас давдаг. Үүнийг “төрсөн өдрийн парадокс” гэдэг. Учир нь бид ихэвчлэн өөрийн төрсөн өдөртэй хүн байгаа эсэхийг боддог бол бодит тооцоонд өрөөн доторх бүх хос хүмүүсийн төрсөн өдрийг харгалздаг. 23 хүнээс үүсэх хосын тоо 253 байдаг тул давхцах боломж бидний төсөөлснөөс хурдан нэмэгдэнэ. Энэ жишээ магадлалын тухай зөн совин үргэлж зөв байдаггүйг харуулдаг.
10. Математик өдөр тутмын амьдралд хаа сайгүй бий
Ухаалаг утасны зураг боловсруулах, банкны гүйлгээний хамгаалалт, GPS-ийн байршил тогтоох, эмнэлгийн дүрс оношилгоо, цаг агаарын урьдчилсан мэдээ гээд олон технологи математикт тулгуурладаг. Бид өдөр бүр томьёо бичдэггүй ч ард нь тооцоолол, статистик, геометр, алгоритм ажиллаж байдаг. Математик бол зөвхөн хичээлийн бодлого биш, орчин үеийн ертөнцийг ажиллуулах үндсэн хэрэгслүүдийн нэг юм.
144
